盡量減少組件的變化敏感性的單運放 
 
幾十個(gè)過(guò)濾器的拓撲結構多年來(lái)一直制定的，與自身的優(yōu)勢。然而，工程師往往依靠了這些拓撲結構為“食譜”的設計方法，可小，但流行群。他們選擇簡(jiǎn)單，不太復雜的低階設計的單運放濾波器。但相關(guān)的食譜方法，開(kāi)發(fā)一個(gè)復雜的過(guò)濾器，乖巧失敗時(shí)，​​工程師們普遍轉向更為復雜的拓撲結構。然而，深入分析了一個(gè)共同的單運算放大器拓撲（Sallen-Key濾波器）可導致一些有趣的結果，如果你挖下面的食譜公式水平。 電能質(zhì)量分析儀| 多功能測試儀| 電容表| 電力分析儀| 諧波分析儀| 發(fā)生器| 多用表| 驗電筆| 示波表| 電流表| 鉤表| 測試器| 電力計|

一個(gè)典型的濾波器設計過(guò)程中有三個(gè)主要階段。首先，建立要傳遞的頻率范圍內，允許的通帶紋波等，通過(guò)系統的要求確定。接下來(lái)，您確定符合要求，通常選擇標準類(lèi)型之一：巴特沃斯，切比雪夫，貝塞爾，橢圓形等，這一步的過(guò)程中超出了本文的范圍是一個(gè)傳遞函數（數學(xué)過(guò)濾器的描述），但詳細的信息可在年底上市的參考。

最后一步是提供所需的傳遞函數的電路設計和實(shí)施。設計師通常遵循以下類(lèi)似的戰略，這是很簡(jiǎn)單的食譜時(shí)，拓撲：

因素進(jìn)入第二階部分的傳遞函數。選擇電路拓撲結構（拓撲），使每個(gè)二階函數合成獨立。作為一個(gè)獨立的二階濾波器設計的每個(gè)階段。將導致一系列的二階濾波器。一個(gè)常見(jiàn)的​​食譜方法的限制，可能會(huì )出現在這一點(diǎn)上。單運放濾波器往往表現在他們的被動(dòng)元件值的變化非常敏感，高QS（即，最高階的過(guò)濾器）過(guò)濾器是特別敏感。這種敏感性不會(huì )是一個(gè)完美的被動(dòng)元件的問(wèn)題，但實(shí)際組件只提供數量有限的標準值。食譜計算，可致電為10.095k電阻器，但實(shí)際可用的最接近的值可能是10.0K。

實(shí)際元件值也各不相同，從單位到單位和反應溫度和其他環(huán)境因素的變化。過(guò)濾器的靈敏度，以這些組件的變化可能會(huì )導致它大大偏離其理想的頻率響應。在許多情況下，設計師，然后變成一個(gè)更復雜的濾波器拓撲結構。
Sallen-Key的拓撲
Sallen-Key濾波器（參考文獻1）是其中最常見(jiàn)的單運放濾波器。其低通版本（圖1）有下列設計公式：
 
ωn為自然頻率，Q是“質(zhì)量因素”（峰值附近的自然頻率發(fā)生的措施），和K = 1 + RB / RA的直流增益。


圖1。
過(guò)濾器的敏感度元件的差異
自然頻率和Q的敏感性傳遞函數穩定性評價(jià)是有用的。為Sallen-Key濾波器（參考文獻2中的第159頁(yè)），這些敏感性如下：
 
靈敏度為代表的’S’。其標是該電路的特點(diǎn)，正在評估其靈敏度，其標是電路元素，其效果正在評估這一特點(diǎn)。因此，第一靈敏度方程（2A）顯示的Q在R1或R3的變化的敏感性。

S是一個(gè)組件的變化提出相應的變化，計算電路特性的電源。例如，你可能已經(jīng)注意到，所有的自然頻率敏感的權力，要么-1 / 2或0。當S = -1 / 2和組件由一個(gè)因素的變化而變化“A”，自然頻率變化-0.5（即1 /√一）。因此，新的自然頻率，將原來(lái)的頻率除以√答當S = 0時(shí)，頻率不會(huì )改變，因為A0 = 1。

參考文獻2涵蓋更詳細的敏感性，它包括許多上面列出的靈敏度方程的推導。參考3和第4條也有良好的治療這一重要課題。這些方程是如此復雜，它往往是相當困難的選擇所需的固有頻率和Q六個(gè)被動(dòng)元件，同時(shí)實(shí)現低Q值的敏感性，除非你玩弄的方程，并發(fā)現了一些有趣的事情發(fā)生時(shí)，增益（K）的設置為1。
K = 1時(shí)，簡(jiǎn)化Sallen-Key濾波器
選擇K為直流增益值= 1，我們可以簡(jiǎn)化很大的Sallen-Key濾波器方程。在這種情況下，為Q的方程（方程1C）簡(jiǎn)化為
 
我們還發(fā)現，RA和RB Q的靈敏度為K = 1（方程2D）變?yōu)榱�。這也難怪。設置K = 1時(shí)配置的運算放大器作為電壓跟隨器，它的輸出直接連接到反相輸入端，從而消除了RA和RB。

2A和2C的靈敏度方程代入方程（方程3）簡(jiǎn)化為Q簡(jiǎn)化的公式：
 
Q的靈敏度電阻可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，通過(guò)設置電阻值相等。當R1和R3是完全平等的，敏感度是零。但實(shí)際電阻值是從來(lái)沒(méi)有真正的平等。因為他們偏離其標稱(chēng)值，靈敏度變?yōu)榉橇�，但仍然非常小。例如�?％的容差的電阻，導致了最壞情況下的靈敏度
 
因此，5％的電阻變化產(chǎn)生0.12％的變化，這是在其他敏感性比較微不足道。即使電阻值不相等，這種敏感性是-1 / 2 +1 / 2之間。在細看的Q方程顯示設置：R1 = R3的其他原因：
 
當n = 1（即，當R3 = R1的），數量（N +1 / N）有2的最低值。因此，濾波電容器將是平等的價(jià)值當Q = 1/2和電阻彼此相等。對于所有的QS高于1/2（迄今為止最常見(jiàn)的情況），C2必須比C4的大。如果電阻不相等，在C2至C4的比例必須作出更大。為了減少這種電容值的蔓延，因此，電阻值應是平等的。

對于平等的電阻值，方程簡(jiǎn)化為Q
 
花事這個(gè)公式得到的C4 C2，
 
我們可以代入為n的方程（方程1B）的表達和解決的C4：
 
代入方程（方程7）為C2這樣的結果，我們得到
 
簡(jiǎn)化的設計流程
團結和設置R1 = R3的設置的Sallen-Key濾波器的增益，使低靈敏度的單運算放大器解決兩個(gè)簡(jiǎn)單的公式過(guò)濾器的設計。簡(jiǎn)化設計過(guò)程如下：選擇一個(gè)合適的電阻值。用于解決電容值方程8日和9。如果C2是過(guò)大，具有較大的電阻值。如果C4是太小了，開(kāi)始與一個(gè)較小的電阻值。如果C4是太小和C2是太大，你已經(jīng)達到這個(gè)過(guò)濾器的限制。挑選最接近計算值的標準值。兩個(gè)例子說(shuō)明了這種方法，從它的使用所帶來(lái)的好處。
到食譜的方法比較，新方法
第一個(gè)例子來(lái)自筆者幾年前所做的工作。為了盡量減少在生產(chǎn)電路的變化，他重新設計了一個(gè)電路（最初創(chuàng )建菜譜技術(shù)），實(shí)現第三階巴特沃斯低通與濾波器的-3dB頻率為4.8kHz。重新設計，消除了微調電位和其相關(guān)的調整需要。

此過(guò)濾器，需要一個(gè)與Q = 1的第二階階段和4.8kHz自然的頻率。最初實(shí)施的Sallen-Key拓撲結構設計方法和參考文獻2，156至157頁(yè)，其中設置的電阻值等于（：R1 = R3 = R）和平等的電容值（C2 = C4的=）。選擇C =0.001μF增益（金）= 2和R = 33.2K。該電路的Q敏感性如下：
 
與我們的新方法使用相同的電阻值（33.2kΩ）過(guò)濾器進(jìn)行了重新設計。方程8和9在C2 = 2000PF和C4 = 500pF的。的敏感性如下：
 
圖2顯示了用于模擬這些電路的原理圖，圖3 SPICE仿真的結果。這些頻率響應圖100種不同的“版本”，為每個(gè)濾波器的蒙特卡羅運行的結果，使用1％公差電阻和5％的電容。對于每一個(gè)“建設，”SPICE仿真器，在其規定的公差范圍內隨機變化​​的元件值。請注意，新的過(guò)濾器在通帶內的所有頻率（特別是那些接近自然頻率），大大低于舊變化。


圖2。


圖3。

同樣重要的是要注意，這些模擬的結果是不是只需要證明電路操作步驟，你也應該建立和測試電路。 SPICE仿真表明一旦AC性能等于實(shí)際電路中，與標稱(chēng)的元件值，你可以使用SPICE仿真蒙特卡洛功能共同評估電路如何變化的響應組件的變化。
級聯(lián)級實(shí)現高階濾波器
單位增益的Sallen-Key的方法有兩個(gè)缺點(diǎn)。它不能提供增益，高Q值濾波器，其電容率可能過(guò)大，使濾波器的實(shí)現�，F有放大器的階段，往往可以提供所需的增益，但是，如果沒(méi)有，最壞情況下的解決方案是添加一個(gè)單運放的增益級。

高階濾波器通常需要至少有一個(gè)階段，具有非常高的問(wèn)：這個(gè)階段可以實(shí)現更復雜的拓撲與低靈敏度的Sallen-Key電路實(shí)現，而在其他階段。甚至用Q的限制，可以執行的Sallen-Key拓撲高階傳統與多運放實(shí)現的濾波器的拓撲結構。下面的例子顯示了這樣一個(gè)過(guò)濾器設計，展示老方法在性能上的顯著(zhù)改善的新程序。標稱(chēng)規格如下：第七階切比雪夫0.05分貝紋波8kHz的-3dB頻率增益= 10實(shí)際從這些客觀(guān)規范的傳遞函數的推導超出了本文的討論范圍，但引用覆蓋，在細節的主題。傳遞函數有三個(gè)復雜的磁極對和一個(gè)簡(jiǎn)單的極點(diǎn)：

FN Q
7.834kHz 5.5662
6.560kHz


 1.6636
4.492kHz 0.7882
3.162kHz簡(jiǎn)單

此過(guò)濾器的兩個(gè)版本的原理圖如圖4所示。一個(gè)設計菜譜的做法和其他與我們的新方法。一個(gè)單運放電路的最后一個(gè)階段提供所需的增益和第七極點(diǎn)。


圖4。

圖5顯示了1％和5％的電阻電容蒙特卡羅分析的結果。結果是抵消對視覺(jué)清晰度的圖形。菜譜版本有一個(gè)約28分貝附近的自然頻率的變化，使該設計無(wú)用。相比之下，的unity-gain/equal-resistor的版本有一個(gè)增益只4分貝共振附近變化。


圖5。
Sallen-Key結構與雙二階濾波器
有趣的是，這七階Sallen-Key電路比較多運算放大器實(shí)現了相同的傳遞函數。雙二階是一個(gè)非常普遍的三運放濾波器提供低敏感性和簡(jiǎn)單的設計公式。其原理如圖6所示。使用參考文獻2中所描述的技術(shù)，靈敏度如下：
 

圖6。

為我們規范的雙二階實(shí)施的示意圖如圖7所示。再次，在最后一個(gè)單運算放大器的階段執行的增益和第七極點(diǎn)。圖8為單位增益的Sallen-Key和雙二階的實(shí)現（結果再次抵消清晰度）的蒙特卡羅分析比較的頻率響應。具有同等的組件，有沒(méi)有在這兩個(gè)過(guò)濾器之間的性能顯著(zhù)差異。事實(shí)上，Sallen-Key的低頻增益變化是略比的雙二階。


圖7。


圖8。

下表列出了元件數量，通帶的變化，和第七階濾波器實(shí)現剛才討論的電容值的傳播：

電路通帶變異運算放大器，電阻電容器電容的傳播
單位增益S-K4分貝4 8 7窄到寬
平等的R / C-ķ28分貝的4月14日7窄
雙二階4分貝10 20 7窄

擴大這些技術(shù)的高通濾波器
我們還可以設計出低靈敏度高通濾波器，利用這些技術(shù)。等效的Sallen-Key高通濾波器，如圖9所示。


圖9。

它的設計公式和敏感性如下：
 
為低通的情況下，我們可以簡(jiǎn)化設置K = 1時(shí)，（在這個(gè)例子中）設置的電容值相等。方程，然后簡(jiǎn)化：
 
結果是兩個(gè)簡(jiǎn)單的電阻方程，其中C1 = C2 = C的：


 
因此，高通的設計過(guò)程是非常類(lèi)似的低通的情況下，選擇一個(gè)合適的值C.計算電阻值，使用方程15A及15B。如果R4是太大，開(kāi)始與一個(gè)更大的C值。如果R2是太小了，開(kāi)始與一個(gè)較小的C值。如果R2是太小和R4是太大，那么你已經(jīng)達到這種類(lèi)型的過(guò)濾器的限制。挑選最接近計算值的標準值。為了說(shuō)明此過(guò)程中，我們可以設計為1.0 Q和的8.0kHz自然頻率與一個(gè)二階高通濾波器階段。首先，選擇C = 1200 pF的。下一步，設置使用的電阻值方程15A和15B：R2 =8.25kΩ和R4 =33.2kΩ。與前面討論過(guò)的（圖10），低通濾波器的頻率響應曲線(xiàn)沿。


圖10。

在傳播的高通濾波器的頻率響應比低通濾波器，嚴格，特別是周?chē)�的高峰。出現這種情況，因為我們用的最廣泛的變化最小靈敏度組件：電容器。為低通的情況下，最小的Q靈敏度電阻和電容器靈敏度為1/2。對于高通的情況下，電阻的靈敏度為1/2，最小靈敏度電容器。我們用1％和5％的電阻電容，因為低公差的電阻比低公差的電容器更容易。如果您選擇了5％的電阻，兩個(gè)電路表現出了類(lèi)似的蔓延。
結論
通過(guò)鉆研Sallen-Key濾波器的元件靈敏度更深入一點(diǎn)，我們發(fā)現在數學(xué)描述，使設計簡(jiǎn)單，單運放更復雜的過(guò)濾器，過(guò)濾器，其性能優(yōu)于“甜蜜點(diǎn)”。在延長(cháng)的Sallen-Key濾波器高階更高Q值濾波器的效用，這種做法是有益的，很可能到其他類(lèi)似的調查，拓撲結構將有類(lèi)似的結果。
附錄A
小心你的數學(xué)！
這也是指導說(shuō)明如何巧妙地利用替代性的數學(xué)表示可以使我們錯過(guò)簡(jiǎn)化和忽略電路中的物理關(guān)系。參考2（這里使用的大部分數學(xué)分析源）158頁(yè)上，作者提出一個(gè)單位增益低通Sallen-Key濾波器。他們介紹了參數M = C4/C2和n = R3/R1簡(jiǎn)化計算和顯示的Sallen-關(guān)鍵Q的靈敏度，使用這些新的參數：
 
不更換電阻器和電容器的Q，M和N與他們同等的表達，我們完全錯過(guò)事實(shí)上，靈敏度電容器僅僅是1/2。電阻靈敏度似乎所有的電容器和電阻器的功能，但它實(shí)際上是一個(gè)單獨的電阻的功能。

這個(gè)故事的寓意是，我們應該始終我們的結果代入實(shí)際的物理量為簡(jiǎn)化檢查。
附錄B
總是懷疑你的SPICE仿真器
基于SPICE仿真正文中所討論的第二階濾波器的原理圖如圖2所示。原來(lái)的過(guò)濾器，一個(gè)LM358的運算放大器，一個(gè)5V電源，一個(gè)1.5V的虛擬地面由Vbias1成立的，是這樣安排的，因為L(cháng)M358的不能可靠地擺動(dòng)接近比約（VCC-1.5V）積極的軌道。與5V軌上10％的公差，我們必須假定為4.5V，VCC可作為低，所以1.5V的偏置中心最低可用范圍內的信號。

圍繞新的過(guò)濾器MAX4126，μMAX封裝（1/2足跡的一個(gè)標準的8引腳SO）在雙運算放大器。其輸入共模范圍擴展超出了鐵軌。輸出擺幅在200mV的裝在軌卸載時(shí)的幾毫伏，并用250Ω。這種對稱(chēng)的輸入和輸出電壓范圍使我們能夠最大限度地通過(guò)設置在VCC / 2虛地電路的動(dòng)態(tài)范圍。近理想的輸入和輸出電壓范圍相結合，還簡(jiǎn)化了操作與3V電源。

不顯示這些差異在輸出電壓范圍在交流SPICE分析，我們已經(jīng)運行，也不是在任何實(shí)際電路的小信號交流測試，他們明顯，只要有足夠的帶寬的運算放大器。出于同樣的原因，這些模擬給出幾乎相同的結果，大多數的SPICE運放模型。只有大信號瞬態(tài)分析（時(shí)域），可以顯示信號范圍上的局限性。

優(yōu)秀的工程師，經(jīng)常檢查其運行瞬態(tài)分析（時(shí)域），以確保他們正確模擬其電路設計。他們也應該面包板電路和采取任何模擬結果與一粒鹽，特別是當模擬信號范圍限制后，侵犯。

圖11包含的兩個(gè)與TopSPICE運行瞬態(tài)分析的結果。第一個(gè)情節，比較MAX4126和LM358的輸出能力，是一個(gè)用于交流分析的描述相同的電路模擬。每個(gè)輸出加載在虛擬地面終止與溫和2KΩ負載。


圖11。

第二個(gè)圖顯示了4個(gè)供應商提供的LM358和LM324的（LM358的四版）版本之間的差異。一個(gè)模型表明，LM358的開(kāi)車(chē)一路到地面，另一個(gè)顯示輸出內地面約100mV的到，第三個(gè)顯示輸出達到350mV的只有約。實(shí)時(shí)電路與實(shí)際設備的測試表明，這是更準確的結果。最后，最后的模型顯示輸出低于負軌0.5V！